Планирование объема эксперимента. Основы планирования эксперимента

Вопрос 62. История становления стоматологической помощи в России.

Вопрос №2. Понятие предпринимательского права, его цели, задачи и функции. История развития.

В№5. История философии. Философская мысль Древнего Востока.

Планирование эксперимента возникло в 20-х годах XX века из потребности устранить или хотя бы уменьшить систематические ошибки в сельскохозяйственных исследованиях путем рандомизации условий проведения эксперимента. Процедура планирования оказалась направленной не только на уменьшение дисперсии оцениваемых параметров, но также и на рандомизацию относительно сопутствующих, спонтанно изменяющихся и неконтролируемых переменных. В результате удалось избавится от смещения в оценках.

С 1918 г. Р. Фишер начал свою известную серию работ на Рочемстедской агробиологической станции в Англии. В 1935 году появилась его монография «Design of Experiments», давшая название всему направлению. В 1942 году А. Кишен рассмотрел планирование эксперимента по латинским кубам, которое явилось дальнейшим развитием теории латинских квадратов. Затем Р. Фишер независимо опубликовал сведения об ортогональных гипер-греко-латинских кубах и гипер-кубах. Вскоре после этого в 1946 г. Р. Рао рассмотрел их комбинаторные свойства. Дальнейшему развитию теории латинских квадратов посвящены работы Х. Манна (1947-1950 гг).

Первое глубокое математическое исследование блок-схемы выполнено Р. Боузом в 1939 г. Вначале была разработана теория сбалансированных неполноблочных планов (BIB-схемы). Затем Р. Боуз, К. Нер и Р. Рао обобщили эти планы и разработали теорию частично сбалансированных неполноблочных планов (РBIB-схемы). С тех пор изучению блок-схем уделяется большое внимание как со стороны специалистов по планированию эксперимента (Ф. Йетс, Г. Кокс, В. Кохрен, В. Федерер, К. Гульден, О. Кемптгорн и другие), так и со стороны специалистов по комбинаторному анализу (Боуз, Ф. Шимамото, В. Клатсворси, С. Шрикханде, А. Гофман и др.).

Исследования Р. Фишера знаменуют начало первого этапа развития методов планирования эксперимента. Фишер разработал метод факторного планирования. Йетс предложил для этого метода простую вычислительную схему. Факторное планирование получило широкое распространение. Особенностью факторного экспериментаявляется необходимость ставить сразу большое число опытов.

В 1945 г. Д. Финни ввел дробные реплики от факторного эксперимента. Это позволило сократить число опытов и открыло дорогу техническим приложениям планирования. Другая возможность сокращения необходимого числа опытов была показана в 1946 г. Р. Плакеттом и Д. Берманом, которые ввели насыщенные факторные планы.

Г. Хотеллинг в 1941 г. Предложил находить экстремум по экспериментальным данным с использованием степенных разложений и градиента. Следующим важным этапом было введение принципа последовательного шагового экспериментирования. Этот принцип, высказанный в 1947 г. М. Фридманом и Л. Сэвиджем, позволил распространить на экспериментальное определение экстремума - итерацию.

Чтобы построить современную теорию планирования эксперимента, не хватало одного звена - формализации объекта исследования. Это звено появилось в 1947 г. После создания Н. Винером теории кибернетики. Кибернетическое понятие «черный ящик», играет в планировании важную роль.

В 1951 г. Работой американских ученых Дж. Бокса и К. Уилсона начался новый этап развития планирования эксперимента. В ней сформулирована и доведена до практических рекомендаций идея последовательного экспериментального определения оптимальных условий проведения процессов с использованием оценки коэффициентов степенных разложений методом наименьших квадратов, движение по градиенту и отыскание интерполяционного полинома в области экстремума функции отклика (почти стационарной области).

В 1954-1955 гг. Дж. Бокс, а затем П. Юл. Показали, что планирование эксперимента можно использовать при исследовании физико-химических процессов, если априори высказаны одна или несколько возможных гипотез. Направление получило развитие в работах Н. П. Клепикова, С. Н. Соколова и В. В. Федорова в ядерной физике.

Третий этап развития теории планирования эксперимента начался в 1957 г., когда Бокс применил свой метод в промышленности. Этот метод стал называться «эволюционным планированием». В 1958 г. Г. Шиффе предложил новый метод планирования эксперимента для изучения физико-химических диаграмм состав - свойство под названием «симплексной решетки».

Развитие теории планирование эксперимента в СССР отражено в работах В. В. Налимова, Ю. П. Адлера, Ю. В. Грановского, Е. В. Марковой, В. Б. Тихомирова

Этапы планирования эксперимента

Методы планирования эксперимента позволяют минимизировать число необходимых испытаний, установить рациональный порядок и условия проведения исследований в зависимости от их вида и требуемой точности результатов. Если же по каким-либо причинам число испытаний уже ограничено, то методы дают оценку точности, с которой в этом случае будут получены результаты. Методы учитывают случайный характер рассеяния свойств испытываемых объектов и характеристик используемого оборудования. Они базируются на методах теории вероятности и математической статистики.

Планирование эксперимента включает ряд этапов.

1. Установление цели эксперимента (определение характеристик, свойств и т. П.) и его вида (определительные, контрольные, сравнительные, исследовательские).

2. Уточнение условий проведения эксперимента (имеющееся или доступное оборудование, сроки работ, финансовые ресурсы, численность и кадровый состав работников и т. П.). Выбор вида испытаний (нормальные, ускоренные, сокращенные в условиях лаборатории, на стенде, полигонные, натурные или эксплуатационные).

3. Выявление и выбор входных и выходных параметров на основе сбора и анализа предварительной (априорной) информации. Входные параметры (факторы) могут быть детерминированными, то есть регистрируемыми и управляемыми (зависимыми от наблюдателя), и случайными, то есть регистрируемыми, но неуправляемыми. Наряду с ними на состояние исследуемого объекта могут оказывать влияние нерегистрируемые и неуправляемые параметры, которые вносят систематическую или случайную погрешность в результаты измерений. Это - ошибки измерительного оборудования, изменение свойств исследуемого объекта в период эксперимента, например, из-за старения материала или его износа, воздействие персонала и т. Д.

4. Установление потребной точности результатов измерений (выходных параметров), области возможного изменения входных параметров, уточнение видов воздействий. Выбирается вид образцов или исследуемых объектов, учитывая степень их соответствия реальному изделию по состоянию, устройству, форме, размерам и другим характеристикам.

На назначение степени точности влияют условия изготовления и эксплуатации объекта, при создании которого будут использоваться эти экспериментальные данные. Условия изготовления, то есть возможности производства, ограничивают наивысшую реально достижимую точность. Условия эксплуатации, то есть условия обеспечения нормальной работы объекта, определяют минимальные требования к точности.

Точность экспериментальных данных также существенно зависит от объёма (числа) испытаний - чем испытаний больше, тем (при тех же условиях) выше достоверность результатов.

Для ряда случаев (при небольшом числе факторов и известном законе их распределения) можно заранее рассчитать минимально необходимое число испытаний, проведение которых позволит получить результаты с требуемой точностью.

0. Составление плана и проведение эксперимента - количество и порядок испытаний, способ сбора, хранения и документирования данных.

Порядок проведения испытаний важен, если входные параметры (факторы) при исследовании одного и того же объекта в течение одного опыта принимают разные значения. Например, при испытании на усталость при ступенчатом изменении уровня нагрузки предел выносливости зависит от последовательности нагружения, так как по-разному идет накопление повреждений, и, следовательно, будет разная величина предела выносливости.

В ряде случаев, когда систематически действующие параметры сложно учесть и проконтролировать, их преобразуют в случайные, специально предусматривая случайный порядок проведения испытаний (рандомизация эксперимента). Это позволяет применять к анализу результатов методы математической теории статистики.

Порядок испытаний также важен в процессе поисковых исследований: в зависимости от выбранной последовательности действий при экспериментальном поиске оптимального соотношения параметров объекта или какого-то процесса может потребоваться больше или меньше опытов. Эти экспериментальные задачи подобны математическим задачам численного поиска оптимальных решений. Наиболее хорошо разработаны методы одномерного поиска (однофакторные однокритериальные задачи), такие как метод Фибоначчи, метод золотого сечения.

0. Статистическая обработка результатов эксперимента, построение математической модели поведения исследуемых характеристик.

Необходимость обработки вызвана тем, что выборочный анализ отдельных данных, вне связи с остальными результатами, или же некорректная их обработка могут не только снизить ценность практических рекомендаций, но и привести к ошибочным выводам. Обработка результатов включает:

· определение доверительного интервала среднего значения и дисперсии (или среднего квадратичного отклонения) величин выходных параметров (экспериментальных данных) для заданной статистической надежности;

· проверка на отсутствие ошибочных значений (выбросов), с целью исключения сомнительных результатов из дальнейшего анализа. Проводится на соответствие одному из специальных критериев, выбор которого зависит от закона распределения случайной величины и вида выброса;

· проверка соответствия опытных данных ранее априорно введенному закону распределения. В зависимости от этого подтверждаются выбранный план эксперимента и методы обработки результатов, уточняется выбор математической модели.

Построение математической модели выполняется в случаях, когда должны быть получены количественные характеристики взаимосвязанных входных и выходных исследуемых параметров. Это - задачи аппроксимации, то есть выбора математической зависимости, наилучшим образом соответствующей экспериментальным данным. Для этих целей применяют регрессионные модели, которые основаны на разложении искомой функции в ряд с удержанием одного (линейная зависимость, линия регрессии) или нескольких (нелинейные зависимости) членов разложения (ряды Фурье, Тейлора). Одним из методов подбора линии регрессии является широко распространенный метод наименьших квадратов.

Для оценки степени взаимосвязанности факторов или выходных параметров проводят корреляционный анализ результатов испытаний. В качестве меры взаимосвязанности используют коэффициент корреляции: для независимых или нелинейно зависимых случайных величин он равен или близок к нулю, а его близость к единице свидетельствует о полной взаимосвязанности величин и наличии между ними линейной зависимости.
При обработке или использовании экспериментальных данных, представленных в табличном виде, возникает потребность получения промежуточных значений. Для этого применяют методы линейной и нелинейной (полиноминальной) интерполяции (определение промежуточных значений) и экстраполяции (определение значений, лежащих вне интервала изменения данных).

0. Объяснение полученных результатов и формулирование рекомендаций по их использованию, уточнению методики проведения эксперимента.

Снижение трудоемкости и сокращение сроков испытаний достигается применением автоматизированных экспериментальных комплексов. Такой комплекс включает испытательные стенды с автоматизированной установкой режимов (позволяет имитировать реальные режимы работы), автоматически обрабатывает результаты, ведет статистический анализ и документирует исследования. Но велика и ответственность инженера в этих исследованиях: четкое поставленные цели испытаний и правильно принятое решение позволяют точно найти слабое место изделия, сократить затраты на доводку и итерационность процесса проектирования.

4.7. Экспериментальные планы

Экспериментальный план – это тактика экспериментального исследования, воплощенная в конкретной системе операций планирования эксперимента. Основными критериями классификации планов являются:

Состав участников (индивид или группа);

Количество независимых переменных и их уровней;

Виды шкал представления независимых переменных;

Метод сбора экспериментальных данных;

Место и условия проведения эксперимента;

Особенности организации экспериментального воздействия и способа контроля.

Планы для групп испытуемых и для одного испытуемого. Все экспериментальные планы можно разделить по составу участников на планы для групп испытуемых и планы для одного испытуемого.

Эксперименты с группой испытуемых имеют следующие преимущества: возможность обобщения результатов эксперимента на популяцию; возможность использования схем межгрупповых сравнений; экономия времени; применение методов статистического анализа. К недостаткам данного типа экспериментальных планов можно отнести: влияние индивидуальных различий между людьми на результаты эксперимента; проблему репрезентативности экспериментальной выборки; проблему эквивалентности групп испытуемых.

Эксперименты с одним испытуемым – это частный случай «планов с маленьким N». Дж. Гудвин указывает на следующие причины использования таких планов: потребности в индивидуальной валидности, так как в экспериментах с большим N возникает проблема, когда обобщенные данные не характеризуют ни одного испытуемого. Эксперимент с одним испытуемым проводится также в уникальных случаях, когда в силу ряда причин невозможно привлечь много участников. В этих случаях целью эксперимента является анализ уникальных явлений и индивидуальных характеристик.

Эксперимент с маленьким N, по мнению Д. Мартина, имеет следующие преимущества: отсутствие сложных статистических подсчетов, легкость в интерпретации результатов, возможность изучения уникальных случаев, привлечение одного-двух участников, широкие возможности манипуляции независимыми переменными. Ему свойственны и некоторые недостатки, в частности сложность процедур контроля, затруднение при обобщении результатов; относительная неэкономичность по времени.

Рассмотрим планы для одного испытуемого.

Планирование временных серий. Основным показателем влияния независимой переменной на зависимую при реализации такого плана является изменение характера ответов испытуемого во времени. Простейшая стратегия: схема А – В. Испытуемый первоначально выполняет деятельность в условиях А, а затем в условиях В. Для контроля «эффекта плацебо» применяется схема: А – В – А. («Эффект плацебо» – это реакции испытуемых на «пустые» воздействия, соответствующие реакциям на реальные воздействия.) В данном случае испытуемый не должен заранее знать, какое из условий является «пустым», а какое реальным. Однако эти схемы не учитывают взаимодействия воздействий, поэтому при планировании временных серий, как правило, применяют схемы регулярного чередования (А – В – А – В), позиционного уравнивания (А – В – В – А) или случайного чередования. Применение более «длинных» временных серий увеличивает возможность обнаружения эффекта, но приводит к ряду негативных последствий – утомлению испытуемого, снижению контроля за другими дополнительными переменными и т. п.

План альтернативных воздействий является развитием плана временных серий. Его специфика заключается в том, что воздействия А и В рандомизированно распределяются во времени и предъявляются испытуемому раздельно. Затем сравниваются эффекты от каждого из воздействий.

Реверсивный план применяется для изучения двух альтернативных форм поведения. Первоначально регистрируется базовый уровень проявления обеих форм поведения. Затем предъявляется комплексное воздействие, состоящее из специфического компонента для первой формы поведения и дополнительного для второй. Через определенное время сочетание воздействий видоизменяют. Эффект двух комплексных воздействий оценивается.

План возрастания критериев часто используется в психологии обучения. Суть его состоит в том, что регистрируется изменение поведения испытуемого в ответ на прирост воздействия. При этом следующее воздействие предъявляется лишь после выхода испытуемого на заданный уровень критерия.

При проведении экспериментов с одним испытуемым следует учитывать, что основные артефакты практически неустранимы. Кроме того, в этом случае, как ни в каком другом, проявляется влияние установок экспериментатора и отношений, которые складываются между ним и испытуемым.

Р. Готтсданкер предлагает различать качественные и количественные экспериментальные планы . В качественных планах независимая переменная представлена в номинативной шкале, т. е. в эксперименте используются два или более качественно разных условия.

В количественных экспериментальных планах уровни независимой переменной представлены в интервальных, ранговых или пропорциональных шкалах, т. е. в эксперименте используются уровни выраженности того или иного условия.

Возможна ситуация, когда в факторном эксперименте одна переменная будет представлена в количественном, а другая – в качественном виде. В таком случае план будет комбинированным.

Внутригрупповые и межгрупповые экспериментальные планы. Т.В. Корнилова определяет два типа экспериментальных планов по критерию количества групп и условий проведения эксперимента: внутригрупповые и межгрупповые. К внутригрупповым относятся планы, в которых влияние вариантов независимой переменной и измерение экспериментального эффекта происходят в одной группе. В межгрупповых планах влияние вариантов независимой переменной осуществляется в разных экспериментальных группах.

Преимуществами внутригруппового плана являются: меньшее количество участников, устранение факторов индивидуальных отличий, уменьшение общего времени проведения эксперимента, возможность доказательства статистической значимости экспериментального эффекта. К недостаткам относятся неконстантность условий и проявление «эффекта последовательности».

Преимуществами межгруппового плана являются: отсутствие «эффекта последовательности», возможность получения большего количества данных, сокращение времени участия в эксперименте для каждого испытуемого, уменьшение эффекта выбывания участников эксперимента. Главным недостатком межгруппового плана является неэквивалентность групп.

Планы с одной независимой переменной и факторные планы. По критерию количества экспериментальных воздействий Д. Мартин предлагает различать планы с одной независимой переменной, факторные планы и планы с серией экспериментов. В планах с одной независимой переменной экспериментатор манипулирует одной независимой переменной, которая может иметь неограниченное количество вариантов проявления. В факторных планах (подробно о них см. с. 120) экспериментатор манипулирует двумя и более независимыми переменными, исследует все возможные варианты взаимодействия их разных уровней.

Планы с серией экспериментов проводятся для постепенного исключения конкурирующих гипотез. В конце серии экспериментатор приходит к верификации одной гипотезы.

Доэкспериментальные, квазиэкспериментальные планы и планы истинных экспериментов. Д. Кэмпбелл предложил разделить все экспериментальные планы для групп испытуемых на следующие группы: доэкспериментальные, квазиэкспериментальные и планы истинных экспериментов. В основе этого деления лежит близость реального эксперимента к идеальному. Чем меньше артефактов провоцирует тот или иной план и чем строже контроль дополнительных переменных, тем ближе эксперимент к идеальному. Доэкспериментальные планы менее всего учитывают требования, предъявляемые к идеальному эксперименту. В.Н. Дружинин указывает, что они могут служить лишь иллюстрацией, в практике научных исследований их следует по возможности избегать. Квазиэкспериментальные планы являются попыткой учета реалий жизни при проведении эмпирических исследований, они специально создаются с отступлением от схем истинных экспериментов. Исследователь должен осознавать источники артефактов – внешних дополнительных переменных, которые он не может контролировать. Квазиэкспериментальный план применяется тогда, когда применение лучшего плана невозможно.

Систематизированные признаки доэкспериментальных, квазиэкспериментальных планов и планов истинных экспериментов приводятся в нижеследующей таблице.

При описании экспериментальных планов будем пользоваться символизацией, предложенной Д. Кэмпбеллом: R – рандомизация; X – экспериментальное воздействие; O – тестирование.

К доэксперименталъным планам относятся: 1) исследование единичного случая; 2) план с предварительным и итоговым тестированием одной группы; 3) сравнение статистических групп.

При исследовании единичного случая однократно тестируется одна группа после экспериментального воздействия. Схематично этот план можно записать в виде:

Контроль внешних переменных и независимой переменной полностью отсутствует. В таком эксперименте нет никакого материала для сравнения. Результаты могут быть сопоставлены лишь с обыденными представлениями о реальности, научной информации они не несут.

План с предварительным и итоговым тестированием одной группы часто применяется в социологических, социально-психологических и педагогических исследованиях. Его можно записать в виде:

В этом плане отсутствует контрольная группа, поэтому нельзя утверждать, что изменения зависимой переменной (разница между O1 и O2), регистрируемые в ходе тестирования, вызваны именно изменением независимой переменной. Между начальным и итоговым тестированием могут произойти и другие «фоновые» события, воздействующие на испытуемых вместе с независимой переменной. Этот план не позволяет контролировать также эффект естественного развития и эффект тестирования.

Сравнение статистических групп будет точнее назвать планом для двух неэквивалентных групп с тестированием после воздействия. Он может быть записан в таком виде:

Этот план позволяет учитывать эффект тестирования, благодаря введению контрольной группы контролировать ряд внешних переменных. Однако с его помощью невозможно учесть эффект естественного развития, так как нет материала для сравнения состояния испытуемых на данный момент с их начальным состоянием (предварительное тестирование не проводилось). Для сравнения результатов контрольной и экспериментальной групп используют t-критерий Стьюдента. Однако следует учитывать, что различия в результатах тестирования могут быть обусловлены не экспериментальным воздействием, а различием в составе групп.

Квазиэкспериментальные планы являются своеобразным компромиссом между реальностью и строгими рамками истинных экспериментов. Существуют следующие типы квазиэкспериментальных планов в психологическом исследовании: 1) планы экспериментов для неэквивалентных групп; 2) планы с предварительным и итоговым тестированием различных рандомизированных групп; 3) планы дискретных временных серий.

План эксперимента для неэквивалентных групп направлен на установление причинно-следственной зависимости между переменными, однако в нем отсутствует процедура уравнивания групп (рандомизация). Этот план может быть представлен следующей схемой:

К проведению эксперимента в данном случае привлекаются две реальные группы. Обе группы тестируются. Затем одна группа подвергается экспериментальному воздействию, а другая – нет. Затем обе группы повторно тестируются. Результаты первого и второго тестирования обеих групп сопоставляют, для сравнения используют t-критерий Стьюдента и дисперсионный анализ. Различие O2 и O4 свидетельствует о естественном развитии и фоновом воздействии. Для выявления действия независимой переменной необходимо сравнивать 6(O1 O2) и 6(O3 O4), т. е. величины сдвигов показателей. Значимость различия приростов показателей будет свидетельствовать о влиянии независимой переменной на зависимую. Этот план аналогичен плану истинного эксперимента для двух групп с тестированием до и после воздействия (см. с. 118). Главным источником артефактов является различие в составе групп.

План с предварительным и итоговым тестированием различных рандомизированных групп отличается от плана истинного эксперимента тем, что предварительное тестирование проходит одна группа, а итоговое – эквивалентная группа, которая подверглась воздействию:

Главный недостаток этого квазиэкспериментального плана – невозможность контролировать эффект «фона» – влияние событий, происходящих наряду с экспериментальным воздействием в период между первым и вторым тестированием.

Планы дискретных временных серий подразделяются на несколько видов в зависимости от количества групп (одной или нескольких), а также в зависимости от количества экспериментальных воздействий (одиночного или серии воздействий).

План дискретных временных серий для одной группы испытуемых состоит в том, что первоначально определяется исходный уровень зависимой переменной на группе испытуемых с помощью серии последовательных замеров. Затем применяют экспериментальное воздействие и проводят серию аналогичных замеров. Сравнивают уровни зависимой переменной до и после воздействия. Схема этого плана:

Главный недостаток плана дискретных временных серий в том, что он не дает возможности отделить результат влияния независимой переменной от влияния фоновых событий, которые происходят в течение исследования.

Модификацией этого плана является квазиэксперимент по схеме временных серий, в котором воздействие перед замером чередуется с отсутствием воздействия перед замером. Его схема такова:

ХO1 – O2ХO3 – O4 ХO5

Чередование может быть регулярным или случайным. Этот вариант подходит лишь в том случае, когда эффект воздействия обратим. При обработке данных, полученных в эксперименте, серии разбивают на две последовательности и сравнивают результаты замеров, где было воздействие, с результатами замеров, где оно отсутствовало. Для сравнения данных используется t-критерий Стьюдента с числом степеней свободы n – 2, где n – число ситуаций одного типа.

Планы временных серий часто реализуются на практике. Однако при их применении нередко наблюдается так называемый «эффект Хотторна». Впервые его обнаружили американские ученые в 1939 г., когда проводили исследование на заводе Хотторна в Чикаго. Предполагалось, что изменение системы организации труда позволит повысить его производительность. Однако в ходе эксперимента любые изменения в организации труда приводили к повышению его производительности. В результате оказалось, что само по себе участие в эксперименте повысило мотивацию к труду. Испытуемые поняли, что ими лично интересуются, и стали работать продуктивнее. Чтобы контролировать этот эффект, должна использоваться контрольная группа.

Схема плана временных серий для двух неэквивалентных групп, из которых одна не получает воздействия, выглядит так:

O1O2O3O4O5O6O7O8O9O10

O1O2O3O4O5O6O7O8O9O10

Такой план позволяет контролировать эффект «фона». Обычно он используется исследователями при изучении реальных групп в образовательных учреждениях, клиниках, на производстве.

Еще один специфический план, который нередко используется в психологии, называют экспериментом ex-post-facto. Он часто применяется в социологии, педагогике, а также в нейропсихологии и клинической психологии. Стратегия применения этого плана состоит в следующем. Экспериментатор сам не воздействует на испытуемых. В качестве воздействия выступает некоторое реальное событие из их жизни. Экспериментальная группа состоит из «испытуемых», подвергшихся воздействию, а контрольная группа – из людей, не испытавших его. При этом группы по возможности уравниваются на момент своего состояния до воздействия. Затем проводится тестирование зависимой переменной у представителей экспериментальной и контрольной групп. Данные, полученные в результате тестирования, сопоставляются и делается вывод о влиянии воздействия на дальнейшее поведение испытуемых. Тем самым план ex-post-facto имитирует схему эксперимента для двух групп с их уравниванием и тестированием после воздействия. Его схема такова:

Если удается достичь эквивалентности групп, то этот план становится планом истинного эксперимента. Он реализуется во многих современных исследованиях. Например, при изучении посттравматического стресса, когда люди, перенесшие воздействия природной или техногенной катастрофы, или участники боевых действий тестируются на наличие посттравматического синдрома, их результаты сопоставляются с результатами контрольной группы, что позволяет выявить механизмы возникновения подобных реакций. В нейропсихологии травмы головного мозга, поражения определенных структур, рассматриваемые как «экспериментальное воздействие», предоставляют уникальную возможность для выявления локализации психических функций.

Планы истинных экспериментов для одной независимой переменной отличаются от других следующим:

1) использованием стратегий создания эквивалентных групп (рандомизация);

2) наличием как минимум одной экспериментальной и одной контрольной групп;

3) итоговым тестированием и сравнением результатов групп, получавших и не получавших воздействие.

Рассмотрим подробнее некоторые экспериментальные планы для одной независимой переменной.

План для двух рандомизированных групп с тестированием после воздействия. Его схема выглядит так:

Этот план применяют в том случае, если нет возможности или необходимости проводить предварительное тестирование. При равенстве экспериментальной и контрольной групп данный план является наилучшим, поскольку позволяет контролировать большинство источников артефактов. Отсутствие предварительного тестирования исключает как эффект взаимодействия процедуры тестирования и экспериментального задания, так и сам эффект тестирования. План позволяет контролировать влияние состава групп, стихийного выбывания, влияние фона и естественного развития, взаимодействие состава группы с другими факторами.

В рассмотренном примере использовался один уровень воздействия независимой переменной. Если же она имеет несколько уровней, то количество экспериментальных групп увеличивается до числа уровней независимой переменной.

План для двух рандомизированных групп с предварительным и итоговым тестированием. Схема плана выглядит следующим образом:

R O1 Х O2

Этот план применяется в том случае, если существуют сомнения в результатах рандомизации. Главный источник артефактов – взаимодействие тестирования и экспериментального воздействия. В реальности также приходится сталкиваться с эффектом неодновременности тестирования. Поэтому наилучшим считается проведение тестирования членов экспериментальной и контрольной групп в случайном порядке. Предъявление-непредъявление экспериментального воздействия также лучше проводить в случайном порядке. Д. Кэмпбелл отмечает необходимость контроля «внутригрупповых событий». Данный экспериментальный план хорошо контролирует эффект фона и эффект естественного развития.

При обработке данных обычно используются параметрические критерии t и F (для данных в интервальной шкале). Вычисляют три значения t: 1) между O1 и O2; 2) между O3 и O4; 3) между O2 и O4. Гипотезу о значимости влияния независимой переменной на зависимую можно принять в том случае, если выполняются два условия: 1) различия между O1 и O2 значимы, а между O3 и O4 незначимы и 2) различия между O2 и O4 значимы. Иногда удобнее сравнивать не абсолютные значения, а величины прироста показателей б(1 2) и б (3 4). Эти значения также сравниваются по t-критерию Стьюдента. В случае значимости различий принимается экспериментальная гипотеза о влиянии независимой переменной на зависимую.

План Соломона представляет собой объединение двух предыдущих планов. Для его реализации необходимы две экспериментальные (Э) и две контрольные (К) группы. Его схема выглядит так:

С помощью этого плана можно контролировать эффект взаимодействия предварительного тестирования и эффект экспериментального воздействия. Эффект экспериментального воздействия выявляется при сравнении показателей: O1 и O2; O2 и O4; O5 и O6; O5 и O3. Сравнение O6, O1 и O3 позволяет выявить влияние фактора естественного развития и фоновых воздействий на зависимую переменную.

Теперь рассмотрим план для одной независимой переменной и нескольких групп.

План для трех рандомизированных групп и трех уровней независимой переменной применяется в тех случаях, когда необходимо выявление количественных зависимостей между независимой и зависимой переменными. Его схема выглядит так:

При реализации этого плана каждой группе предъявляется лишь один уровень независимой переменной. При необходимости можно увеличить количество экспериментальных групп в соответствии с количеством уровней независимой переменной. Для обработки данных, полученных с помощью такого экспериментального плана, могут применяться все вышеперечисленные статистические методы.

Факторные экспериментальные планы применяются для проверки сложных гипотез о взаимосвязях между переменными. В факторном эксперименте проверяются, как правило, два типа гипотез: 1) гипотезы о раздельном влиянии каждой из независимых переменных; 2) гипотезы о взаимодействии переменных. Факторный план заключается в том, чтобы все уровни независимых переменных сочетались друг с другом. Число экспериментальных групп при этом равно числу сочетаний.

Факторный план для двух независимых переменных и двух уровней (2 х 2). Это наиболее простой из факторных планов. Его схема выглядит так.

Данный план выявляет эффект воздействия двух независимых переменных на одну зависимую. Экспериментатор сочетает возможные переменные и уровни. Иногда используются четыре независимые рандомизированные экспериментальные группы. Для обработки результатов применяется дисперсионный анализ по Фишеру.

Существуют более сложные версии факторного плана: 3 х 2 и 3 х 3 и т. д. Дополнение каждого уровня независимой переменной увеличивает число экспериментальных групп.

«Латинский квадрат». Является упрощением полного плана для трех независимых переменных, имеющих два и более уровней. Принцип латинского квадрата состоит в том, что два уровня разных переменных встречаются в экспериментальном плане только один раз. Тем самым значительно сокращаются количество групп и экспериментальная выборка в целом.

Например, для трех независимых переменных (L, M, N) с тремя уровнями у каждой (1, 2, 3 и N(A, В, С)) план по методу «латинского квадрата» будет выглядеть так.

В этом случае уровень третьей независимой переменной (А, В, С) встречается в каждой строке и в каждой колонке по одному разу. Комбинируя результаты по строкам, столбцам и уровням, можно выявить влияние каждой из независимых переменных на зависимую, а также степень попарного взаимодействия переменных. Применение латинских букв А, В, С для обозначения уровней третьей переменной традиционно, поэтому метод и получил название «латинский квадрат».

«Греко-латинский квадрат». Этот план применяется в случае, если необходимо исследовать влияние четырех независимых переменных. Он строится на основе латинского квадрата для трех переменных, при этом к каждой латинской группе плана присоединяется греческая буква, обозначающая уровни четвертой переменной. Схема для плана с четырьмя независимыми переменными, каждая из которых имеет три уровня, будет выглядеть так:

Для обработки данных, полученных в плане «греко-латинский квадрат», применяется метод дисперсионного анализа по Фишеру.

Главная проблема, которую позволяют решить факторные планы, – определение взаимодействия двух и более переменных. Эту задачу невозможно решить, применяя несколько обычных экспериментов с одной независимой переменной. В факторном плане вместо попыток «очистить» экспериментальную ситуацию от дополнительных переменных (с угрозой для внешней валидности) экспериментатор приближает ее к реальности, вводя некоторые дополнительные переменные в разряд независимых. При этом анализ связей между изучаемыми признаками позволяет выявить скрытые структурные факторы, от которых зависят параметры измеряемой переменной.

Планирование эксперимента – это область математической статистики, ставящая своей целью выбор количества и условий постановки экспериментов, необходимых и достаточных для решения задачи с требуемой точностью, разработку методов и приемов математической обработки результатов эксперимента и принятия на основе этого определенных решений.

Что дает планирование экспериментатору? Принципиально иное отношение к ошибке. Рандомизация. Последовательный эксперимент. Оптимальное использование пространства независимых переменных. Редукция информации. Этическая функция планирования эксперимента. Планирование эксперимента и логика вопросов.

Какова стратегия эксперимента? 1. Признание факта существования задачи и ее формулировка. 2. Выбор факторов и уровней. 3. Выбор переменной отклика. 4. Выбор плана эксперимента. 5. Проведение эксперимента. 6. Анализ данных. 7. Выводы и рекомендации.

Аналогия между вычислительным и лабораторным экспериментами. Лабораторный эксперимент Образец Вычислительный эксперимент Модель Прибор Измерение Программа для компьютера Тестирование программы Расчет Анализ данных Калибровка

ПЕРВИЧНАЯ СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА ОПЫТНЫХ ДАННЫХ Средняя арифметическая Ma= y/m=(y 1+y 2+. . . +yi+. . . +ym)/m Средняя геометрическая Mg=(yi)1/m=(y 1 y 2. . . yi. . . ym)1/m Средняя квадратическая Ms=(yi 2/m)1/2=((y 12+y 22+. . . +yi 2+. . . +ym 2)/m)1/2 Средняя гармоническая Mgr=m(yi– 1)– 1 Мода Медиана Md=y(m+1)/2 Md=(ym/2+1)/2

Дисперсия воспроизводимости Sj 2= (yij-yсрj)2/(m-1)= =((y 1 j-yсрj)2+(y 2 j-yсрj)2+. . . +(ymj-yсрj)2)/(m-1) Среднее квадратическое отклонение Sj=(Sj 2)1/2=((Yij-Yсрj)2/(m-1))1/2 Коэффициент вариации V=Sj/Yсрj · 100% Размах R=Ymaxj – Yminj Доверительный интервал для среднего B = yсрj t Sj/((m)1/2)

Количество повторных измерений m=(V 2) (t 2)/(T 2) Коэффициент вариации (V, %), Показатель точности (относительная ошибка T, обычно 5%), Показатель достоверности (t – критерий Стьюдента). m=(V 2) (t 2) (1 1/(2 m 1)1/2)2/(T 2) Нижний и верхний пределы для дисперсии =m– 1; =95%; =5%

Исключение грубых промахов По критерию Романовского |ym+1 –yср| t" Sy По критерию Q Q=|ym-ym-1|/|ym-y 1| Проверка однородности дисперсий F=S 21/S 22 – критерий Фишера; G – критерий Кохрена B/C – критерий Бартлетта (по χ2)

Проверка различия средних значений большая выборка малая выборка Сравнение нескольких средних с использованием критерия Дункана Производится ранжирование средних. Вычисляется значение дисперсии воспроизводимости с числом степеней свободы =n (m– 1).

Вычисляется нормированная ошибка среднего S=(Sa 2/m)0. 5 Выписываются значения (n– 1) значимых рангов из таблицы Дункана при числе степеней свободы, уровне значимости и p=2, 3, …, n. Наименьшие значимые ранги (НЗР), вычисляются как произведение рангов на нормированную ошибку среднего S. Проверяются разности между средними, начиная с крайних; эта разность сравнивается с НЗР при p=n, затем находится разность максимального среднего и первого, которое превосходит минимальное, и сравнивается с НЗР при p=n– 1 и т. д.

ВЫБОР ПАРАМЕТРОВ ОПТИМИЗАЦИИ И ФАКТОРОВ Требования к отклику: 1. Отклик (параметр оптимизации) должен быть эффективным с точки зрения достижения цели. 2. Отклик должен быть универсальным, т. е. всесторонне отражать свойства процесса. 3. Отклик должен быть количественным и выражаться одним числом. 4. Отклик должен быть статистически эффективным, т. е. иметь небольшую дисперсию. 5. Желательно, чтобы параметр оптимизации имел физический смысл, был простым и легко вычисляемым.

Требования к факторам: 1. Факторы должны быть управляемыми, т. е. такими, чтобы внутри области определения фактору можно было бы придать любое значение. 2. Факторы должны быть совместимы. Это означает, что любая комбинация уровней внутри областей определения может быть реализована. Факторы несовместимы, если некоторые комбинации уровней приводят к остановке процесса (например, в результате взрыва и т. п.). 3. Точность установления уровней факторов должна быть выше точности фиксирования значений параметра оптимизации.

ВЫДЕЛЕНИЕ СУЩЕСТВЕННЫХ ПЕРЕМЕННЫХ НА ОСНОВЕ АПРИОРНОЙ ИНФОРМАЦИИ Коэффициент ранговой корреляции Спирмэна =cov(x, y)/((S 2 x S 2 y)0. 5)=1– 6 ((xi–yi)2)/(n 3 -n) Коэффициент корреляции рангов Кендалла

Квадрат Юдена 1 2 3 4 5 6 7 1 A B C D E F G 2 B C D E F G A 3 D E F G A B C 1 2 1 3 1 2 3 1 2 2 2 1 2 3 A B C D E F G Σ 5 6 9 3 7 8 4

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНО-СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ВЫДЕЛЕНИЕ СУЩЕСТВЕННЫХ ПЕРЕМЕННЫХ Полный факторный эксперимент Переход от натурального масштаба переменной к условному ПФЭ 22 х1 х2 (1), a, b, ab -1 +1 -1 yр=b 0+b 1 x 1+b 2 x 2+b 12 x 1 x 2

+1 -1 -1 +1 Z= +1 +1 4 0 0 0 +1 +1 -1 -1 -1 +1 0 4 0 0 Z’= Z’Z= +1 -1 -1 -1 +1 +1 0 0 4 0 +1 +1 +1 -1 -1 +1 0 0 0 4 b 0=(y 1+y 2+y 3+y 4)/4; b 2=(–y 1–y 2+y 3+y 4)/4; b 1=(–y 1+y 2–y 3+y 4)/4; b 12=(y 1–y 2–y 3+y 4)/4.

Организация эксперимента и проведение расчетов реализуются в следующей последовательности. 1. Выбор уровней варьирования факторов. 2. Построение плана эксперимента и матрицы планирования. 3. Проведение экспериментальных измерений. 4. Вычисление коэффициентов линейной модели. 5. Проверка значимости коэффициентов модели. 6. Проверка содержательности модели. 7. Проверка адекватности модели. 8. Проверка предсказательной способности в центре плана. 9. Анализ остатков. 10. Интерпретация (анализ) модели. 11. Принятие решений на основе полученной информации

Почему используется полный факторный эксперимент S 2 bi= S 2 восп / N +1 +1 4 0 0 -1 +1 0 4 0 -1 -1 +1 +1 0 0 4 +1 +1 4 0 0 -1 +1 0 0 0 2 0 0 0 +1 +1 0 0 2

ПФЭ 23 х1 -1 +1 План х2 -1 -1 +1 +1 х3 -1 -1 +1 +1 Обозначение (1) a b ab c ac bc abc

yр=b 0+b 1 x 1+b 2 x 2+b 3 x 3+b 12 x 1 x 2+b 13 x 1 x 3+b 23 x 2 x 3+b 123 x 1 x 2 x 3 +1 -1 -1 -1 +1 +1 +1 -1 -1 +1 -1 -1 +1 -1 Z 1 = +1 -1 +1 +1 +1 -1 Z 2 = +1 +1 +1 -1 -1 +1 +1 +1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 +1 +1

b 0=(y 1+y 2+y 3+y 4+y 5+y 6+y 7+y 8)/8; b 1=(-y 1+y 2 -y 3+y 4 -y 5+y 6 -y 7+y 8)/8; yuср = yu/N; b 2=(-y 1 -y 2+y 3+y 4 -y 5 -y 6+y 7+y 8)/8; b 3=(-y 1 -y 2 -y 3 -y 4+y 5+y 6+y 7+y 8)/8; S 2 R 0= (yu-yuср)2/(N-1); b 12=(y 1 -y 2 -y 3+y 4+y 5 -y 6 -y 7+y 8)/8; b 13=(y 1 -y 2+y 3 -y 4 -y 5+y 6 -y 7+y 8)/8; S 2 R = (yu-yuрасч)2 / (N-p); b 23=(y 1+y 2 -y 3 -y 4 -y 5 -y 6+y 7+y 8)/8; b 123=(-y 1+y 2+y 3 -y 4+y 5 -y 6 -y 7+y 8)/8; Содержательность модели: F=S 2 R 0/S 2 R Адекватность модели: F=S 2 R/S 2 восп. Предсказательная способность модели: t=|b 0 -y 0 ср|/(S 2 восп/m)0. 5

Дробные реплики ДФЭ 2 3 -1 + + D=0 + + - + + + - D=256 + - - + + + Генерирующее соотношение x 1 x 2=x 3 Определяющий контраст I=x 1 x 2 x 3 Система смешивания b 1 1+ 23; b 2 2+ 13; b 3 3+ 12; b 0 0+ 123

ДФЭ 24– 1 Генерирующие соотношения x 4=x 1 x 2 и x 4=x 1 x 2 x 3 Планы 1) d, a, b, abd, cd, ac, bc, abcd; 2) (1), ad, bd, ab, cd, ac, bc, abcd Определяющие контрасты I=x 1 x 2 x 4 и I=x 1 x 2 x 3 x 4. Системы смешивания 1) b 1 1+ 24; b 2 2+ 14; b 3 3+ 1234; b 4 4+ 12 ; b 13 13+ 234; b 23 23+ 134; b 34 34+ 123; b 0 0+ 124. 2) b 1 1+ 234; b 2 2+ 134; b 3 3+ 124; b 4 4+ 123; b 12 12+ 34; b 13 13+ 24; b 14 14+ 23; b 0 0+ 1234

ДФЭ 27– 4 y=b 0+b 1 x 1+b 2 x 2+b 3 x 3+b 4 x 4+b 5 x 5+b 6 x 6+b 7 x 7 ГС: х4=х1·х2, х5=х1·х3, х6=х2·х3 и х7=х1·х2·х3 Обобщающий ОК включает контрасты, образованные из этих четырех ГС, а также произведений контрастов по два, по три и по четыре. I=х1·х2·х4=х1·х3·х5=х2·х3·х6=х1·х2·х3·х7=х2·х3·х4·х5= =х1·х3·х4·х6=х3·х4·х7=х1·х2·х5·х6=х2·х5·х7=х1·х6·х7= =х4·х5·х6=х1·х4·х5·х7=х2·х4·х6·х7=х3·х5·х6·х7= =х1·х2·х3·х4·х5·х6·х7. Пренебрегая эффектами взаимодействия, начиная с тройных, получим: b 0→β 0 (ниже тройных нет) b 1→β 1+β 24+β 35+β 67 b 2→β 2+β 14+β 36+β 57 b 3→β 3+β 15+β 26+β 47 b 4→β 4+β 12+β 37+β 56 b 5→β 5+β 13+β 27+β 46 b 6→β 6+β 23+β 17+β 45 b 7→β 7+β 34+β 25+β 16

Выбор факторов на основе отсеивающего эксперимента Планы Плакетта-Бермана n N Комбинации знаков 3 4 + - + 7 8 + + + - 11 12 + + - 15 16 + + - 19 20 + + - - - + + - - + - + - - + + - n – количество факторов; N – число экспериментов.

Планы случайного баланса № x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 Ранг 1 2 3 4 5 6 7 8 + + + + + + + + + - 8 3 6 7 4 5 2 1

Анализ диаграмм рассеяния x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 Md- 5. 0 4. 5 4. 0 3. 5 5. 5 6. 0 3. 0 4. 5 Md+ 4. 0 4. 1 3. 0 5. 5 2. 5 3. 5 4. 5 3. 0 B -1. 0 -0. 5 -1. 5 2. 0 3. 0 -2. 5 1. 5 -1. 5 n 2 - - - 3 - - |p| 2. 0 1. 5 6. 0 - - - 7. 5 - - 3 4

ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ Однофакторный дисперсионный анализ Модель yij= + j+ ij, yij обозначает i-е наблюдение на j-м уровне фактора (i=1, 2, . . . , m; j=1, 2, …, n). Расчет y-yср=y-50. 1 yij i ↓ 2 6 5 12 9 10 14 11 0 5 6 3 j→ -5 -4 -5 -11 -7 4 -8 -11 -5 -7 -9

Вычисление сумм значений отклика по столбцам. T. 1=6+5+12+9+10=42; T. 2=14+11+0+5+6=36; T. 3=-5 -4 -5 -1 -7=-32; T. 4=-8 -11 -5 -7 -9=-40. T. . =42+36– 32– 40=6. Вычисление средних значений отклика для каждого уровня фактора. y 1 ср=42/5=8. 4; y 2 ср=36/5=7. 2; y 3 ср=-32/5=-6. 4; y 4 ср=-40/5=-8. 0. Вычисление сумм квадратов значений отклика yij по строкам и столбцам. SS 1=62+52+122+92+102=386; SS 2=142+112+02+52+62=378; SS 3=(-5)2+(-4)2+(-5)2+(-11)2+(-7)2 =236; SS 4=(-8)2+(-11)2+(-5)2+(-7)2+(-9)2 =340; SS=386+378+236+340=1340. SSобщ=1340 -62/(5× 4)=1338. 2.

Вычисление сумм квадратов, характеризующих влияние фактора и ошибки. SSисп=422/5+362/5+(-32)2/5+(-40)2/5 -62/20=1135. 0; SSош = 1338. 2– 1135. 0 = 203. 2. Вычисление средних квадратов (дисперсий). νобщ=5× 4– 1=19; νисп=4– 1=3; νош=4×(5 – 1) = 16. MSисп =1135/3=378. 3; MSош=203. 2/16=12. 7. Результаты однофакторного дисперсионного анализа Источник изменчивости Сумма квадратов SS Число степеней свободы ν Средний квадрат MS Критерий Фишера F Фактор 1135. 0 3 378. 3 29. 8 Ошибка 203. 2 16 12. 7 Итого 1138. 2 19

Двухфакторный дисперсионный анализ Модель yij= + j+βj+ ij Расчет yij – 13 мм Автомобиль Марка шины A B C D T. j I 4 1 -1 0 4 II 1 1 -1 -2 -1 III 0 0 -3 -2 -5 IV 0 -5 -4 -4 -13 Т i. 5 -3 -9 -8 -15=T. . 17 27 27 24 95=

Вычисление сумм квадратов SSобщ = 95 -(-15)2/16 = 80. 9; SSмар = ((5)2+(-3)2+(-9)2+ +(-8)2)/4 -(-15)2/16 = 30. 6; SSавт=((4)2+(-1)2+(-5)2+ +(-13)2)/4 -(-15)2/16 = 38. 6; SSост=80. 9 -30. 6 -38. 6=11. 7. Вычисление числа степеней свободы νобщ=n 1·n 2– 1; νмар=n 1 – 1; νавт=n 2 – 1; νост= νобщ–νмар–νавт. νобщ=4· 4– 1=15; νмар=4– 1=3; νавт=4– 1=3; νост=15– 3– 3=9.

Вычисление средних квадратов. МSмар=SSмар/νмар; МSавт=SSавт/νавт; MSост=SSост/νост. МSмар=30. 6/3=10. 2; МSавт=38. 6/3=12. 9; MSост=11. 7/9=1. 3. F=MSисп/MSост. Fмар=10. 2/1. 3=7. 85; Fавт=12. 9/1. 3=9. 92. Результаты двухфакторного дисперсионного анализа Источник изменчивости Сумма Число степеней квадратов SS свободы ν Средний квадрат MS Критерий Фишера F Марки шин 30. 6 3 10. 2 7. 85 Автомобили 38. 6 3 12. 9 9. 92 Остаток 11. 7 9 1. 3 ИТОГО 80. 9 15

Многофакторный дисперсионный анализ Модель yijk= + j+βj+ k + ijk A B C D Уровни х1: a 1; a 2; a 3; a 4; B D A C Уровни х2: b 1; b 2; b 3; b 4; C A D B D C B A Уровни х3: A; B; C; D; Этапы вычислений: 1. Подсчет итогов (сумм) и средних значений по строкам Ai, столбцам Bj и латинским буквам Ck. 2. Вычисление суммы квадратов результатов всех наблюдений: SS 1 = (Yijk)2. 3. Сумма квадратов итогов по строкам, деленная на число элементов в каждой строке: SS 2 = Ai 2 / n. 4. Сумма квадратов итогов по столбцам, деленная на число элементов в каждом столбце: SS 3 = Bj 2 / n. 5. Сумма квадратов итогов по латинским буквам, деленная на число элементов, соответствующих каждой букве: SS 4 = Ck 2 / n.

6. Корректирующий член, равный квадрату общего итога, деленному на общее число ячеек квадрата (на число опытов): SS 5 = Yijk / (n 2). 7. Сумма квадратов для строки: SSa=SS 2–SS 5. 8. Сумма квадратов для столбца: SSb=SS 3 -SS 5. 9. Сумма квадратов для латинской буквы: SSc=SS 4 -SS 5. 10. Общая сумма квадратов: SSобщ=SS 1 -SS 5. 11. Остаточная сумма квадратов: SSост=SSобщ-(SSa+SSb+SSc). Дисперсионный анализ латинского квадрата Источник изменч-ти Сумма квадратов SS Число степеней свободы Средний квадрат MS Критерий Фишера F Строки SSa=SS 2 -SS 5 a=n– 1 MSa=SSa/ a MSa / MSост Столбцы SSb=SS 3 -SS 5 b=n– 1 MSb=SSb/ b MSb / MSост Лат. буквы SSc=SS 4 -SS 5 c=n– 1 MSc=SSc/ c MSс / MSост Остаток SSост=SSобщ – ост=(n-1) (n-2) MSост=SSост/ ост – (SSa+SSb+SSc) Итого SSобщ=SS 1–SS 5 общ=n 2– 1

Греко-латинский квадрат Исследовано влияние рецептурных факторов на относительное удли-нение при разрыве композиций на основе поливинилхлорида (ПВХ). x 1 – партия полимера. Уровни фактора x 1: a 1, a 2, a 3, a 4. x 2 – содержание пластификатора. Уровни фактора x 2, масс. ч. : b 1 – 20, b 2 – 30, b 3 – 40, b 4 – 50. x 3 – тип стабилизатора. Уровни фактора x 3: A –соевое масло, B – стеарат кальция, C – стеарат бария и D – стеарат кадмия. x 4 – тип динамометра. Уровни фактора x 4: , β, и. A B C Dβ C D Aβ B Bβ A D C D Cβ B A

План и результаты эксперимента при изучении свойств ПВХ x 2 x 1 a 2 a 3 a 4 Aiср Ai 2 b 1 A (8. 2) B (10. 2) C (8. 3) Dβ (5. 9) 32. 6 8. 2 1063 b 2 C (15. 1) D (25. 8) Aβ (22. 3) B (21. 2) 84. 4 21. 1 7123 b 3 Bβ (48. 9) A (25. 7) D (49. 6) C (35. 2) 160. 4 39. 9 25408 b 4 D (74. 1) Cβ (69. 5) B (80. 9) A (57. 1) 281. 6 70. 4 79299 Bj 146. 3 131. 2 161. 1 120. 4 G= =558. 0 Bjср 36. 6 32. 8 40. 3 29. 9 Bj 2 21404 17213 25953 14256

A B C D C k 113. 3 161. 2 128. 1 155. 4 Ckср 28. 3 Ck 2 12837 25985 16410 24149 40. 3 β 32. 0 38. 9 Dl 129. 3 146. 6 150. 1 132. 0 Dlср 32. 3 D l 2 16718 21492 22530 17424 36. 7 37. 8 33. 0

Вычисление суммы квадратов результатов всех наблюдений. . . SS 1=8. 22+10. 22+8. 32+. . . +80. 92+57. 12 =28992. 54. Сумма квадратов итогов по строкам, деленная на число элементов в каждой строке. SS 2=(1063+7123+25408+79299) / 4 =28223. 25. Сумма квадратов итогов по столбцам, деленная на число элементов в каждом столбце. . SS 3=(21404+17213+25953+14256)/4=19706. 50. Сумма квадратов итогов по латинским буквам, деленная на число элементов, соответствующих каждой букве. SS 4=(12837+25985+16410+24149) / 4 =19845. 25. Сумма квадратов итогов по греческим буквам, деленная на число элементов, соответствующих каждой букве. SS 5=(16718+21492+22530+17424) / 4 =19541. 00.

Корректирующий член, равный квадрату общего итога, деленному на общее число ячеек квадрата (на число опытов). SS 6 = 558. 02/ 16 = 19460. 25. Сумма квадратов для строки. SSa=SS 2 -SS 6; SSa=28223. 25 -19460. 25=8763. 00. Сумма квадратов для столбца. SSb=SS 3 -SS 6; SSb=19706. 50 -19460. 25=246. 25. Сумма квадратов для латинской буквы. SSc=SS 4 -SS 6; SSc=19845. 25 -19460. 25=385. 00. Сумма квадратов для греческой буквы. SSd=SS 5 -SS 6; SSd=19541. 00 -19460. 25=80. 75. Общая сумма квадратов. SSобщ=SS 1 -SS 6; SSобщ=28992. 54 -19460. 25=9532. 27. Остаточная сумма квадратов. SSост=SSобщ-(SSa+SSb+SSc+SSd); SSост=9532. 27 -(8763. 00+246. 25+385. 00+80. 75)=57. 27.

Дисперсионный анализ греко-латинского квадрата 4 4. Источник изменчивости Сумма квадратов SS Число степеней свободы ν Средний квадрат MS Критерий Фишера F Строки, x 2 8763. 00 3 2921. 0 152. 9 Столбцы, x 1 246. 25 3 82. 1 4. 3 Лат. буквы, x 3 385. 00 3 128. 3 6. 7 Греч. буквы, x 4 80. 75 3 26. 9 1. 4 Ошибка 57. 27 3 19. 1 F(3; 3; 0. 05)=9. 28 и F(3; 3; 0. 1)=5. 39 Итого 9532. 27 15

ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА В УСЛОВИЯХ ВРЕМЕННОГО ДРЕЙФА Влияние этого временнóго дрейфа на параметры математического описания процесса можно практически устранить, разбивая серию опытов на отдельные блоки так, чтобы эффект от временнóго дрейфа оказался смешанным с произведениями факторов, для которых коэффициенты регрессии достаточно малы. Допустим, необходимо устранить влияние временнóго дрейфа на параметры уравнения регрессии, получаемого в результате полного трехфакторного эксперимента. С этой целью разобьем эксперимент на два блока и введем новую независимую переменную хд, характеризующую дрейф. Положим хд=х1 х2 х3. В один из блоков отберем опыты, для которых хд=+1, а в другой блок – для которых хд=– 1. Формально это планирование можно рассматривать как эксперимент типа 24– 1 с генерирующим соотношением хд=х1 х2 х3.

Планирование в условиях временного дрейфа Блок х1 х2 х3 хд=х1 х2 х3 Отклик 1 – 1 +1 – 1 – 1 +1 +1 +1 +1 +1 – 1 – 1 2 y 1+βд y 2+βд y 3+βд y 4+βд y 5–βд y 6–βд y 7–βд y 8–βд

Если уравнение регрессии ищется в виде y=b 0+b 1 x 1+b 2 x 2+b 3 x 3+b 12 x 1 x 2+b 23 x 2 x 3+b 123 x 1 x 2 x 3, то коэффициенты регрессии будут являться следующими оценками: b 0→β 0; b 1→β 1; b 2→β 2; b 3→β 3; b 12→β 12; b 13→β 13; b 23→β 23; b 123→β 123+βд; Рассчитаем, например, коэффициенты b 1 и b 123: b 1=(–(y 1+βд)+(y 2+βд)–(y 3+βд)+(y 4+βд)–(y 5–βд)+(y 6– βд)–(y 7–βд)+(y 8–βд))/8= =(–y 1+y 2–y 3+y 4–y 5+y 6–y 7+y 8)/8; b 123=((y 1+βд)+(y 2+βд)+(y 3+βд)+(y 4+βд)–(y 5–βд)–(y 6– βд)–(y 7–βд)–(y 8–βд))/8= =(y 1+y 2+y 3+y 4–y 5–y 6–y 7–y 8)/8+βд. Следовательно, все коэффициенты регрессии, кроме b 123, не содержат погрешностей, обусловленных временным дрейфом.

Анализ временнóго дрейфа может быть осуществлен также с помощью магических квадратов. Пусть нужно поставить N независимых опытов. Числа от 1 до N – это некоторые параметры времени, такие как часы или дни. Высказывается предположение, что при постановке N опытов имеет место временнóй дрейф экспериментальных данных. Характер дрейфа линейный. Рассмотрим план, представляющий собой совмещение магического квадрата с полным факторным экспериментом 24.

Рассмотрим результаты определения зависимости твердости резин от температуры вулканизации (= 180 о. С и = 140 о. С), продолжительности процесса (= 17 мин и = 5 мин), дозировки ускорителя (= 1. 2 масс. ч. и = 0. 4 масс. ч.) и наполнителя (= 30 масс. ч. и = 10 масс. ч.). Реализован полный факторный эксперимент 24 Допустим, что ежедневно ставим один опыт, тогда все опыты будут поставлены за 16 дней. В течение этого времени имеет место линейный дрейф. Для защиты от этого дрейфа наложим ПФЭ 24 на 4 4 магический симметричный квадрат, элементами которого являются номера шестнадцати опытов. Такой план приемлем, если взаимодействия х1 х4 и х2 х3 незначимы.

Факторный эксперимент 24, совмещенный с 4 4 магическим квадратом x 1(+1) x 2(+1) x 4(+1) x 3(+1) x 1(– 1) x 2(+1) x 2(– 1) 16 72. 0 2 70. 0 3 73. 8 13 59. 8 x 4(– 1) 5 69. 8 11 57. 8 10 62. 7 8 54. 7 x 4(+1) x 3(– 1) 9 67. 5 7 59. 3 6 64. 4 12 52. 2 x 4(– 1) 4 62. 4 14 48. 3 15 52. 2 1 50. 2

« x 1=[-1; 1; -1; 1; -1; 1]; « x 2=[-1; -1; 1; 1; -1; 1; 1]; « x 3=[-1; -1; 1; 1; 1; 1]; « x 4=[-1; -1; 1; 1; 1]; « y=; « X=; « b=(inv(X"*X))*(X"*y) b=61. 0687 2. 3187 4. 5312 4. 0062 3. 8063 « Y=X*b; « max(abs(y-Y)) ans = 3. 7938 « [(y-Y). /y*100] ans = 7. 5573 « (64. 7 -61. 1)/15*2 ans=0. 4800 В последней формуле сопоставлены значения отклика до дрейфа и после него. Если бы не было дрейфа, значение отклика в нулевой точке было бы 64. 7 единиц, а в результате дрейфа (пребывание в агрессивной среде) понизилось на 3. 6 единиц.

КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ Зависимость между двумя переменными величинами называется статистической, если каждому значению одной из них соответствует множество значений другой, но число этих значений не является постоянным, а сами значения не отражают определенной закономерности. Рассмотрим двумерные наблюдения, т. е. такие наблюдения, которые дают значения двух случайных величин х и у. Используем такую статистическую характеристику – ковариацию или второй смешанный центральный момент (иначе – корреляционный момент) величин х и у: Коэффициент корреляции

Справедливы следующие соотношения: y=a+bx; x=a +׳ b ׳ y Таким образом, мы получаем два уравнения регрессии, которые отвечают двум различным математическим формулировкам задачи: в первом случае минимальное значение имеет сумма квадратов отклонений, взятых параллельно оси ординат, во втором случае – сумма квадратов отклонений, взятых параллельно оси абсцисс.

При подсчете коэффициентов регрессии можно воспользоваться следующими соотношениями: β= +φ При rxy = 1, tgφ = 0, следовательно, в этом частном случае обе линии регрессии совпадают. Каждая из переменных становится линейной функцией другой переменной. При rxy = 0 мы получаем две взаимно перпендикулярные прямые, параллельные координатным осям и проходящие через точку с координатами В этом случае очевидно, что между переменными не может существовать линейной статистической связи.

y 1 – условное напряжение при удлинении 100%, МПа; y 2 – условное напряжение при удлинении 200%, МПа; y 3 – условное напряжение при удлинении 300%, МПа; y 4 – условная прочность при растяжении, МПа; y 5 – относительное удлинение при разрыве, %; y 6 – сопротивление разлиру, к. Н/м; y 7 – твердость по Шору А.

Представление о корреляциях с помощью модели косинуса Соотношение между вулканизационными характеристиками ν=877; r=0. 968; r=0. 935; r=0. 984; tgφ=– 0. 0281. tgφ=– 0. 0535 tgφ=– 0. 0155.

ОПТИМИЗАЦИЯ ОДНОМЕРНЫЙ ПОИСК Метод последовательной дихотомии предусматривает размещение на каждом этапе экспериментирования сразу двух новых точек, расположенных симметрично относительно середины интервала неопределенности на расстоянии друг от друга. Здесь – по возможности малая величина, ограниченная снизу разрешающей способностью доп в измерении величины x. Значение доп – это та минимальная разница между соседними наблюдениями x, которая может быть обнаружена инструментально с помощью тех измерительных средств, которые имеются в распоряжении экспериментатора.

Метод поиска Фибоначчи базируется на использовании чисел Фибоначчи Fk, определяемых рекуррентным соотношением вида: Fk=Fk-1+Fk-2, k>1, F 0=F 1=1. N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 FN 1 2 3 5 8 13 21 34 55 Метод золотого сечения является частной разновидностью метода Фибоначчи и отличается от него лишь тем, что в методе золотого сечения нет необходимости в обязательном предварительном определении общего числа опытов N. Координаты x(1) (первой точки в этом методе) находятся по формуле: x(1) = xmin + q L,

МНОГОМЕРНЫЙ ПОИСК Многомерность делает унимодальность менее вероятной Нельзя найти меру эффективности поиска, которая не зависела бы некоторым образом от удачи экспериментатора. Восприятие размера в многомерных пространствах. Существует большое число разнообразных методов многомерного поиска. В дальнейшем будут рассмотрены лишь некоторые из них, получившие наибольшее распространение для целей экспериментальной оптимизации. Эти методы можно разделить на две большие группы: на градиентные и неградиентные методы поиска экстремума.

Метод покоординатного поиска, (метод Гаусса-Зайделя) Метод Гаусса-Зайделя весьма прост при практической реализации, достаточно помехоустойчив. Однако ясно, что траектория поиска вряд ли будет наикратчайшей. Кроме того метод Гаусса. Зайделя имеет тенденцию к ложной остановке процедуры, если в ходе движения поисковая точка окажется на узком «гребне» .

ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ В ПРОМЫШЛЕННЫХ УСЛОВИЯХ 1. Промышленный эксперимент должен одновременно с нормальным функционированием объекта и производством товарной продукции обеспечить получение полезной информации для нахождения оптимальных условий управления объектом. 2. Чтобы извлечь такую информацию, можно реализовать целенаправленное «покачивание» объекта около так называемого «рабочего режима» , планируя пробные шаги варьирования по управляемым факторам и выделяя влияние изучаемых переменных на отклик в условиях шума с помощью регрессионного анализа. 3. В производственных условиях, по сравнению с лабораторными, имеет место большое количество неконтролируемых и неуправляемых факторов, влияющих на ход процесса. 4. Медленные (относительно частоты постановки опытов) случайные флуктуации одних неконтролируемых и неуправляемых факторов промышленного объекта вызывают нерегулярный временной дрейф поверхности целевого отклика по отношению к управляемым факторам, то есть нерегулярное изменение с течением времени всей поверхности, а значит, и координат точки ее экстремума в их пространстве. 5. В промышленных условиях для реализации адаптационной оптимизации нет специального штата высококвалифицированных исследователей, а есть у производственной установки обслуживающий персонал довольно низкой квалификации. Здесь нет и той насыщенности исследования измерительными, регистрирующими приборами и вычислительными устройствами, которая присуща лабораторному эксперименту. Поэтому планы и вычислительные алгоритмы обработки наблюдений промышленного эксперимента должны быть достаточно просты. 6. Адаптационная оптимизация производственных установок предполагает постоянное исследование и подстройку объекта, то есть неограниченное временем проведение промышленного эксперимента, а значит, и неограниченное число его опытов.

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Во многих ситуациях, которые могут встретиться в промышленности, в экономической деятельности требуется максимизировать или минимизировать некоторую количественную величину при определенных ограничениях. Например, бизнесмен хочет максимизировать свою прибыль, однако при этом он ограничен общим числом имеющихся у него машин, наличием людей, капиталом, который он может инвестировать, и рядом других экономических факторов. Пример. Имеется три вещества сложного состава В 1, В 2 и В 3 разной цены. Каждое из них содержит определенное количество необходимых ингредиентов И 1, И 2, И 3 и И 4 Известно, что в течение суток требуется И 1 – не менее 250, И 2 – не менее 60, И 3 – не менее 100 и И 4 – не менее 220. Требуется минимизировать затраты на приобретение этих веществ. Очевидно, что количество приобретаемых веществ не может быть отрицательным.

Содержание необходимых ингредиентов в веществах и цены этих веществ В 1 В 2 В 3 И 1 4 6 15 И 2 2 2 0 И 3 5 3 4 И 4 7 3 12 Цена 44 35 100

В состав MATLAB входит Tool. Box Optimization, предназначенный для решения такого рода задач. Используется функция linprog. Первым аргументом linprog всегда является вектор f (вектор коэффициентов), далее задается матрица A и вектор b. Решение. x 1, x 2 и x 3 – искомые количества веществ. Целевая функция: f. Tо x=44·x 1+35·x 2+100·x 3. При наличии ограничений в виде равенств дополнительными аргументами могут быть Aeq и beq, наконец, двусторонние ограничения являются шестым и седьмым аргументами linprog. Поскольку линейные ограничения содержат «меньше или равно» , а количество ингредиентов в продуктах не должно быть менее заданных величин, то следует изменить знаки обеих частей системы. Для решения задачи составляется файл-прграмма. При вызове linprog вместо неиспользуемых аргументов (нет ограничений в виде равенств и верхней границы для неизвестных) задаются пустые массивы, обозначаемые .

Решение. Матрица А и векторы b и lb: =linprog(f, A, b, , lb, ); p=1. 8118 e+003; р – общая стоимость продуктов. Интерпретация. Представляет интерес умножить A на х, определить рекомендуемое содержание ингредиентов и сравнить его с минимально допустимым. A*x= [-250; -60: -142. 14; -220]; Сравнивая эти числа с вектором b, можно констатировать завышенное содержание третьего ингредиента. Это объясняется тем, что не было введено ограничение на максимальное содержание.

КОНТРОЛЬНЫЕ НАБЛЮДЕНИЯ Одно из наиболее важных применений статистическая теория находит в методах статистического контроля, среди которых хорошо известным примером может служить контроль качества. Контроль качества находит наиболее широкое применение в промышленности. Методика контроля качества находит два основных применения. Первое применение она находит в управлении технологическими процессами, при котором какой-либо реальный процесс, например такой, как работа машины, измеряется с целью оценки хода работы в настоящее время и, как подразумевается, для получения отправных данных для работы в ближайшем будущем. Второе применение она находит в приемочном контроле, который оценивает ход работы в прошлом путем измерения качества произведенных товаров. Поэтому это второе применение имеет дело с конечной совокупностью вещей, которые уже были произведены, тогда как управление технологическим процессом нацелено на проверку самого хода фактического производства. Это позволяет руководству выявить недостатки в процессе почти одновременно с их появлением и тем самым предотвратить выпуск изделий, имеющих дефекты.

Метод контроля основывается на свойствах нормальной кривой. Около 99. 7% всех наблюдаемых значений, взятых из нормально распределенной совокупности, располагаются в пределах интервала трех стандартных отклонений в любую сторону от среднего значения, и поэтому только около трех из каждой тысячи показаний наблюдений располагается вне этих пределов. Исходя из этого, может быть составлена контрольная карта, которая показывает возможные значения на вертикальной оси и ряды последовательных целых чисел, представляющих последовательные наблюдения, расположенные вдоль горизонтальной оси. Горизонтальная линия проведена на высоте, соответствующей среднему значению; гори зонтальные линии проведены также на высо тах, представляющих контрольные пределы. Верхний контрольный предел установлен на высоте, соответствующей значению средней плюс три стандартных отклонения (С. о.); ни жний контрольный предел установлен на вы соте, соответствующей значению средней минус три стандартных отклонения, так что около 99. 7% всех показаний должны расположиться в этих пределах.

Контрольные карты можно использовать: 1. Как сигнал о том, что в процессе произошло некоторое изменение, так и в качестве оценки величины изменения, для которого требуется коррекция. 2. Исключительно как сигнал о том, что в процессе произошло некоторое изменение, чтобы оператор осознал, что процесс требует его внимания. 3. Для получения оценок числа случаев в прошлом, когда в процессе возникали изменения, и установления на их основе причин, вызывающих эти изменения. 4. Как меру качества продукции для классификации по периодам. В производстве чаще всего используются: 1) контрольные карты Шухарта (карты R и s – средних значений, размаха и стандартного отклонения); 2) карты скользящих геометрических средних (скользящего экспоненциально взвешенного среднего) и скользящих размахов; 3) карты накопленных сумм; 4) многомерные контрольные карты.

Контрольные карты и R для вулканизационных характеристик t 10, t 50 и t 90 Карта накопленных сумм

ОПИСАНИЕ ПОЧТИ СТАЦИОНАРНОЙ ОБЛАСТИ При изучении почти стационарной области возникает ряд новых сложных проблем. Если мы хотим описать эту часть поверхности отклика полиномом (многочленом) второго порядка, то переменные нужно варьировать уже на трех уровнях. Возникает сложная задача построения таких планов. Здесь, прежде всего, нужно выбрать какой-то достаточно разумный критерий оптимальности. Во всяком случае, с самого начала было ясно, что планы полного факторного эксперимента типа 3 n (n – количество факторов) здесь неприемлемы, так как они потребуют слишком большого числа опытов. Если три фактора – 33=27, четыре фактора – 34=81. В работе Бокса и Уилсона (1951) была выдвинута идея построения композиционных планов, ядром которых служат линейные ортогональные планы. Предполагается что, попав в почти стационарную область, исследователь сначала ставит опыты, используя линейные планы. Затем, убедившись в том, что гипотеза линейности здесь не проходит, он достраивает линейный план до плана второго порядка; отсюда и само название - композиционный план.

Рассмотрим такую ситуацию: имеется два фактора, и на первом этапе мы строим полный факторный эксперимент (ПФЭ) 22. На рисунке точки этого плана изображены зачерненными кружками. Далее ставится эксперимент в центре квадрата для проверки гипотезы адекватности. Затем реализуются «звездные» точки. Выбор плана – это всегда компромиссное решение, принимаемое в результате диалога. Раньше это был диалог со справочником-каталогом планов, сейчас – это диалог с компьютером.

Ортогональность плана. План называется ортогональным, если ковариационная матрица плана содержит все нулевые элементы, кроме элементов главной диагонали (диагональная матрица). Для ортогональных планов все оценки коэффициентов независимы: эллипсоид рассеяния ориентирован так, что направление его главных осей совпадает с направлением координатных осей в пространстве коэффициентов. Ротатабельность плана. Ротатабельные планы имеют ковариационную матрицу, инвариантную к вращению координат, позволяют получить одинаковую дисперсию предсказанных значений функции отклика во всех равноудаленных от центра эксперимента точках. Выполнение этого условия делает любое направление от центра эксперимента равнозначным в смысле точности оценки поверхности. Если информационные контуры плана представить как поверхности с равными значениями дисперсии оценки поверхности отклика, то для ротатабельного плана эти поверхности будут представлять собой сферы.

ПРИМЕНЕНИЕ СОВРЕМЕННЫХ ПРОГРАММНЫХ ПРОДУКТОВ ДЛЯ АНАЛИЗА ПОЧТИ СТАЦИОНАРНОЙ ОБЛАСТИ Экспериментальная сетка, сформированная ломаными линиями без аппроксимации уравнением Поверхность отклика, отвечающая наибольшему значению коэффициента детерминации

ПРИМЕНЕНИЕ СОВРЕМЕННЫХ ПРОГРАММНЫХ ПРОДУКТОВ ДЛЯ АНАЛИЗА ПОЧТИ СТАЦИОНАРНОЙ ОБЛАСТИ Поверхность отклика, отвечающая модели 310 по каталогу программы TC 3 D Поверхность отклика, отвечающая модели 301 по каталогу программы TC 3 D

ПОСТРОЕНИЕ ДИАГРАММ СОСТАВ-СВОЙСТВО Частным случаем решения задачи описания почти стационарной области является построение регрессионных моделей для систем, являющихся смесями двух и более различных компонентов. Переменные xi таких систем являются пропорциями (относительным содержанием) нескольких (например, трех) компонентов смеси и удовлетворяют условию xi = x 1 + x 2 + x 3 = 1 Геометрическое место точек, удовлетворяющих условию нормированности сумм переменных, представляет собой двумерный симплекс (треугольник). Каждой точке симплекса соответствует смесь определенного состава, и любой комбинации относительных содержаний трех компонентов соответствует определенная точка симплекса. В рассматриваемой нами ситуации вершины симплекса соответствуют 100%-му содержанию каждого компонента; стороны треугольника, лежащие напротив этих вершин, соответствуют нулевому содержанию данного компонента; относительное содержание каждого компонента откладывается вдоль соответствующей стороны треугольника состава. Состав может быть выражен в мольных, массовых и объемных долях или в процентах.

Опустив из каждой вершины треугольника высоту, разделив каждую из них на десять равных по величине отрезков и проведя через полученные деления прямые, параллельные сторонам треугольника, получим треугольную сетку.

Для решения задачи построения диаграммы «свойство-состав» на симплексе целесообразно рассматривать модель y=y(x 1, x 2, x 3) (y – отклик) в форме приведенного полинома. Такие приведенные полиномы для трехкомпонентных смесей показаны ниже. Модель второго порядка для трех переменных: y = 1 x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 + 12 x 1 x 2 + 13 x 1 x 3 + 23 x 2 x 3 Неполная кубическая модель: y = 1 x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 + 12 x 1 x 2 + 13 x 1 x 3 + 23 x 2 x 3 + 123 x 1 x 2 x 3 Модель третьего порядка: y = 1 x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 + 12 x 1 x 2 + 13 x 1 x 3 + 23 x 2 x 3 + + 12(x 1 – x 2) + 13(x 1 – x 3) + 23(x 2 – x 3) + 123 x 1 x 2 x 3 Модель четвертого порядка: y = 1 x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 + 12 x 1 x 2 + 13 x 1 x 3 + 23 x 2 x 3 + + 12(x 1 – x 2) + 13(x 1 – x 3) + 23(x 2 – x 3) + + 12 x 1 x 2(x 1 – x 2)2+ 13 x 1 x 3(x 1 – x 3)2+ 23 x 2 x 3(x 2 – x 3)2+ 1123 x 12 x 2 x 3+ 1223 x 1 x 22 x 3+ 1233 x 1 x 2 x 32 Полиномы такого вида получаются из обычных полиномов соответствующей степени введением соотношения xi = x 1 + x 2 + x 3 = 1

Так, например, полином второй степени, в общем случае имеющий вид y=b 0+b 1 x 1+b 2 x 2+b 3 x 3+b 12 x 1 x 2+b 13 x 1 x 3+b 23 x 2 x 3+b 11 x 12+b 22 x 22+b 33 x 32, в приведенной форме с учетом условия xi = x 1 + x 2 + x 3 = 1 приобретет форму y = 1 x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 + 12 x 1 x 2 + 13 x 1 x 3 + 23 x 2 x 3 При переходе к приведенной форме постоянный член b 0 исключается из уравнения умножением обеих сторон xi = x 1 + x 2 + x 3 = 1 на b 0. b 0 x 1 + b 0 x 2 + b 0 x 3 = b 0 и подстановкой полученных результатов в уравнение y=(b 0+b 1)x 1+(b 0+b 2)x 2+(b 0+b 3)x 3+b 12 x 1 x 2+b 13 x 1 x 3+b 23 x 2 x 3+b 11 x 12+b 22 x 22+b 33 x 32 Исключения квадратичных членов можно достичь подстановкой в уравнение вместо величин x 12, x 22 и x 32 значений x 12=x 1–x 1 x 2–x 1 x 3, x 22=x 2–x 1 x 2–x 2 x 3, x 32=x 3–x 1 x 3–x 2 x 3, образованных путем умножения соотношения xi = x 1 + x 2 + x 3 = 1 соответственно на x 1, x 2 и x 3 y=(b 0+b 11)x 1+(b 0+b 22)x 2+(b 0+b 33)x 3+(b 12–b 11–b 22)x 1 x 2+ + (b 13–b 11–b 33)x 1 x 3 +(b 23–b 22–b 33)x 2 x 3 Введя обозначения 1=b 0+b 11; 2=b 0+b 22; 3=b 0+b 33; 12=b 12–b 11–b 22; 13= b 13–b 11–b 33; 23=b 23–b 22–b 33, получим приведенную форму y = 1 x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 + 12 x 1 x 2 + 13 x 1 x 3 + 23 x 2 x 3

Для оценки коэффициентов приведенных полиномов были предложены симплекс-решетчатые планы. В таблице представлено расположение точек (матрица планирования) и обозначение откликов для случая модели второго порядка. Отклик Координаты точек Отклик Координаты точек x 1 x 2 x 3 y 1 1 0 0 y 12 1/2 0 y 2 0 1 0 y 13 1/2 0 1/2 y 3 0 0 1 y 23 0 1/2

Для построения модели второго порядка реализуются точки в вершинах треугольника и в серединах его сторон. Схема расположения экспериментальных точек в симлексных решетках {3, 2} {3, 3}* {3, 3} {3, 4} {4, 2} {q, n}-решетки, q – число компонентов смеси, n – степень полинома Формулы для вычисления параметров модели второго порядка 1=y 1; 2=y 2; 3=y 3; 12=4 y 12– 2 y 1– 2 y 2; 13=4 y 13– 2 y 1– 2 y 3; 23=4 y 23– 2 y 2– 2 y 3.

Пример. Результаты исследования прочности пористых резин на основе комбинации каучуков СКМС-30 РП и БС-45 К, содержа-щих три типа порообразователей х1 – N, N’-динитрозопентаметилен-тетрамин (ЧХЗ-18), х2 – азодикарбонамид (ЧХЗ-21), х3 – бикарбонат натрия. Координаты точек и результаты эксперимента Координаты точек x 1 x 2 x 3 1 0 0 0 1 0 0 σ, МПа Координаты точек σ, МПа x 1 x 2 x 3 5. 6 5. 9 ½ 1/2 0 4. 4 4. 7 0 3. 2 1/2 0 1/2 5. 1 5. 4 1 6. 0 6. 3 0 1/2 3. 8 4. 0

Вычисление коэффициентов приведенного полинома. σ = 1 x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 + 12 x 1 x 2 + 13 x 1 x 3 + 23 x 2 x 3 , хi . 1= σ1; 2= σ2; 3= σ3; 12=4σ12– 2σ1– 2σ2; 13=4σ13– 2σ1– 2σ3; 23=4σ23– 2σ2– 2σ3. β 1=(5. 6+5. 9)/2=5. 75; β 2=(3. 0+3. 2)/2=3. 10; β 3=(6. 0+6. 3)/2=6. 15; β 12=4(4. 4+4. 7)/2 -2(5. 6+5. 9)/2 -2(3. 0+3. 2)/2=0. 50; β 13=4(5. 1+5. 4)/2 -2(5. 6+5. 9)/2 -2(6. 0+6. 3)/2=-2. 80; β 23=4(3. 8+4. 0)/2 -2(3. 0+3. 2)/2 -2(6. 0+6. 3)/2=-2. 90. Уравнение регрессии имеет вид: σ = 5. 75 x 1 + 3. 10 x 2 + 6. 15 x 3 + 0. 50 x 1 x 2 - 2. 80 x 1 x 3 - 2. 90 x 2 x 3. Проверка однородности дисперсий. Критерий Кохрена: G=S 2 max/ Σ S 2 j. Средние значения: 5. 75; 3. 10; 6. 15; 4. 55; 5. 25; 3. 90. Дисперсии: 0. 045; 0. 020; 0. 045; 0. 020. Условие однородности дисперсий: G

Расчет дисперсии воспроизводимости. N=6; S 2 E =(0. 045+0. 020+0. 045+0. 020)/6=0. 037. Значения отклика в проверочной точке 4. 1; 4. 3. σ0 ср=4. 20 МПа Проверка адекватности модели. =a 12+a 22+a 32+a 122+a 132+a 232; ai=xi(2 xi-1); aij=4 xixj. t= σ·(r/(S 2 E (1+))1/2, = p(r-1), y=|σрасч-σср| – модуль разности отклика, рассчитанного по уравнению, и среднего отклика, определенного экспериментально в проверочной точке по r повторным наблюдениям. a 1=a 2=a 3=1/3·(2· 1/3 -1)=-1/9; a 12=a 13=a 23=4· 1/3=4/9; =3(-1/9)2+3(4/9)2=0. 630. Значения прочности в центре плана: σ0 расч=5. 75/3+3. 10/3+6. 15/3+ 0. 50/9 -2. 80/9 -2. 90/9=4. 42 МПа. t=|4. 42 -4. 20|·(2/(0. 037(1+0. 630))1/2 =1. 27; =6(2 -1)=6; =5 %; t(6; 0. 05)=2. 45.

Условие адекватности: tрасч

Пример. Влияние состава полимерной матрицы на тепловой эффект вулканизации. Все рецептуры содержали 15 масс. % каучука СКМС 30 РП и 30 масс. % смеси полимеров: каучук СКД (х1), полистирол (х2) и каучук СКМС-30 РП (х3) в различных соотношениях. Все системы содержали порообразователи. Для построения диаграмм использована программа в системе MATLAB. Но в нее были внесены определенные коррективы, которые позволили реализовать процедуру в следующей последовательности. С использованием программы Table Curve 3 D формируется модель, включающая два фактора х1 и х2. Затем составляется столбец значений параметров полученной модели b. этот столбец вводится в командное окно MATLAB. Затем открывается программа-модуль для построения диаграмм. В эту программу заранее внесены возможные уравнения. Такой подход позволяет рассчитать несколько конкурирующих моделей и оценить их статистические характеристики. В рассматриваемом случае получены следующие модели: 310 z=a+bx+cy+dx^2+ey^2+fxy+gx^3+hy^3+ixy^2+jx^2 y; 1301 z=(a+cx+ey+gx^2+iy^2+kxy)/(1+bx+dy+fx^2+hy^2+jxy); 301 z=a+bx+cy+dx^2+ey^2+fxy; 65 z=a+bx+cx^2+dx^3+ex^4+fx^5+gy+hy^2+iy^3+jy^4+ky^5; 50 z=a+bx+cx^2+dx^3+ex^4+fy+gy^2+hy^3+iy^4+jy^5.

На рисунке слева сплошными линиями показаны изолинии, полученные с использованием модели третьего порядка (310), а пунктиром – модели второго порядка. Справа даны изолинии (сплошные) применительно к моделям 65 и 50. они практически совпадают. Пунктиром показаны изолинии для модели 1301 по каталогу TC 3 D.

Планирование эксперимента - продукт нашего времени, однако истоки его теряются в глубине веков.

Истоки планирования эксперимента уходят в глубокую древность и связаны с числовой мистикой, пророчествами и суевериями.

Это собственно не планирование физического эксперимента, а планирование числового эксперимента, т.е. расположение чисел так, чтобы выполнялись некоторые строгие условия, например, на равенство сумм по строкам, столбцам и диагоналям квадратной таблицы, клеточки которой заполнены числами натурального ряда.

Такие условия выполняются в магических квадратах, которым, по-видимому, принадлежит первенство в планировании эксперимента.

Согласно одной легенде примерно в 2200 г. до н.э. китайский император Ю выполнял мистические вычисления с помощью магического квадрата, который был изображен на панцире божественной черепахи.

Квадрат императора Ю

Клетки этого квадрата заполнены числами от 1 до 9, и суммы чисел по строкам, столбцам и главным диагоналям равны 15.

В 1514 г. немецкий художник Альбрехт Дюрер изобразил магический квадрат в правом углу своей знаменитой гравюры-аллегории «Меланхолия». Два числа в нижнем горизонтальном ряду A5 и 14) составляют год создания гравюры. В этом состояло своеобразное «приложение» магического квадрата.

Квадрат Дюрера

В течение нескольких веков построение магических квадратов занимало умы индийских, арабских, немецких, французских математиков.

В настоящее время магические квадраты используются при планировании эксперимента в условиях линейного дрейфа, при планировании экономических расчетов и составлении рационов питания, в теории кодирования и т.д.

Построение магических квадратов является задачей комбинаторного анализа, основы которого в его современном понимании заложены Г. Лейбницем. Он не только рассмотрел и решил основные комбинаторные задачи, но и указал на большое практическое применение комбинаторного анализа: к кодированию и декодированию, к играм и статистике, к логике изобретений и логике геометрии, к военному искусству, грамматике, медицине, юриспруденции, технологии и к комбинации наблюдений. Последняя область применения наиболее близка к планированию эксперимента.

Одной из комбинаторных задач, имеющей прямое отношение к планированию эксперимента, занимался известный петербургский математик Л. Эйлер. В 1779 г. он предложил задачу о 36 офицерах как некоторый математический курьез.

Он поставил вопрос, можно ли выбрать 36 офицеров 6 рангов из 6 полков по одному офицеру каждого ранга от каждого полка и расположить их в каре так, чтобы в каждом ряду и в каждой шеренге было бы по одному офицеру каждого ранга и по одному от каждого полка. Задача эквивалентна построению парных ортогональных 6x6 квадратов. Оказалось, что эту задачу решить невозможно. Эйлер высказал предположение, что не существует пары ортогональных квадратов порядка п=1 (mod 4).

Задачей Эйлера, в частности, и латинскими квадратами вообще занимались впоследствии многие математики, однако почти никто из них не задумывался над практическим применением латинских квадратов.

В настоящее время латинские квадраты являются одним из наиболее популярных способов ограничения на рандомизацию при наличии источников неоднородностей дискретного типа в планировании эксперимента. Группировка элементов латинского квадрата, благодаря своим свойствам (каждый элемент появляется один и только один раз в каждой строке и в каждом столбце квадрата), позволяет защитить главные эффекты от влияния источника неоднородностей. Широко используются латинские квадраты и как средство сокращения перебора в комбинаторных задачах.

Возникновение современных статистических методов планирования эксперимента связано с именем Р. Фишера.

С 1918 г. он начал свою известную серию работ на Рочемстедской агробиологической станции в Англии. В 1935 г. появилась его монография «Design of Experiments», давшая название всему направлению.

Среди методов планирования первым был дисперсионный анализ (кстати, Фишеру принадлежит и термин «дисперсия»). Фишер создал основы этого метода, описав полные классификации дисперсионного анализа (однофакторный и многофакторный эксперименты) и неполные классификации дисперсионного анализа без ограничения и с ограничением на рандомизацию. При этом он широко использовал латинские квадраты и блок-схемы. Вместе с Ф. Йетсом он описал их статистические свойства. В 1942 г. А. Кишен рассмотрел планирование по латинским кубам, которое явилось дальнейшим развитием теории латинских квадратов.

Затем Р. Фишер независимо опубликовал сведения об ортогональных гипер-греко-латинских кубах и гипер-кубах. Вскоре после этого 1946-1947 гг.) Р. Рао рассмотрел их комбинаторные свойства. Дальнейшему развитию теории латинских квадратов посвящены работы X. Манна A947-1950 гг.).

Исследования Р. Фишера, проводившиеся в связи с работами по агробиологии, знаменуют начало первого этапа развития методов планирования эксперимента. Фишер разработал метод факторного планирования. Йегс предложил для этого метода простую вычислительную схему. Факторное планирование получило широкое распространение. Особенностью полного факторного эксперимента является необходимость ставить сразу большое число опытов.

В 1945 г. Д. Финни ввел дробные реплики от факторного эксперимента. Это позволило резко сократить число опытов и открыло дорогу техническим приложениям планирования. Другая возможность сокращения необходимого числа опытов была показана в 1946 г. Р. Плакеттом и Д. Берманом, которые ввели насыщенные факторные планы.

В 1951 г. работой американских ученых Дж. Бокса и К. Уилсона начался новый этап развития планирования эксперимента.

Эта работа подытожила предыдущие. В ней ясно сформулирована и доведена до практических рекомендаций идея последовательного экспериментального определения оптимальных условий проведения процессов с использованием оценки коэффициентов степенных разложений методом наименьших квадратов, движения по градиенту и отыскания интерполяционного полинома (степенного ряда) в области экстремума функции отклика («почти стационарной» области).

В 1954-1955 гг. Дж. Бокс, а затем Дж. Бокс и П. Юл показали, что планирование эксперимента можно использовать при исследовании физико-химических механизмов процессов, если априори высказаны одна или несколько возможных гипотез. Здесь планирование эксперимента пересекалось с исследованиями по химической кинетике. Интересно отметить, что кинетику можно рассматривать как метод описания процесса с помощью дифференциальных уравнений, традиции которого восходят к И. Ньютону. Описание процесса дифференциальными уравнениями, называемое детерминистическим, нередко противопоставляется статистическим моделям.

Бокс и Дж. Хантер сформулировали принцип ротатабельности для описания «почти стационарной» области, развивающейся в настоящее время в важную ветвь теории планирования эксперимента. В той же работе показана возможность планирования с разбиением на ортогональные блоки, указанная ранее независимо де Бауном.

Дальнейшим развитием этой идеи было планирование, ортогональное к неконтролируемому временному дрейфу, которое следует рассматривать как важное открытие в экспериментальной технике - значительное увеличение возможностей экспериментатора.

Вам могут быть интересны следующие материалы

Бизнес

Вопросы

Интернет

Недвижимость

Страхование

Услуги

© 2024 Финансы. Бизнес. Недвижимость. Услуги. Страхование